名医堂第168期：名医堂：康复医学 为你的运动保驾护航;

一维数据的均值和方差计算可以说是几乎是最常用的统计分析方法。这个初中就学过的概念，在嵌入式系统中却有着广泛的实际应用：

■ 传感器故障检测

□ 正常工作的传感器数据波动应在一定范围内

□ 突然的均值漂移或方差剧变，往往意味着传感器故障

□ 如温度传感器读数突然剧烈波动，很可能是接触不良 

信号质量评估 

□ GPS信号强度的均值和方差可以反映定位质量 

□ 方差过大说明信号不稳定，可能处于多路径效应区域

□ 均值过低说明信号较弱，可能在遮挡环境下

■ 机器人控制

□ 舵机位置反馈的方差可以用来检测是否卡死

□ 电机电流的均值可以估计负载大小

□ 轮速反馈的方差可以判断地面情况

■ 电池管理

□ 电压的滑动均值可以平滑瞬时波动

□ 电流的方差可以反映负载的稳定性

□ 温度的异常波动可能预示电池问题

这些场景都需要实时、高效地计算数据流的统计特征。虽然计算公式简单，但在实际工程中，有限的资源限制及实时性要求、数值稳定性和存储效率成为主要挑战。

本文主要探讨如何在有限的计算能力和内存条件下，优雅地实现高效的均值和方差计算。通过优化算法、减少计算复杂度、利用递推公式和定点数运算，文章提供了一系列使用技巧，帮忙开发者在保持精度的同时，显著降低计算开销。这些方法特别适用于物联网设备、嵌入式系统等对资源敏感的领域。

基础知识

1.1 定义 

众所周知: 均值(mean)反映数据的集中趋势：

方差(variance)反映数据的离散程度：

基于以上两个定义式出发,可以很简单的转换为C code, 浅显易懂: 

使用示例：

但是这种最基础的实现存在几个严重问题: 

1） 数据存储问题 

● 需要保存全部历史数据

● 对于高频采样的传感器（如IMU 200Hz），1s就需要存储200个数据点

● 在嵌入式系统中，内存资源宝贵，这种方式极其浪费

2）计算效率问题 

● 每次计算都需要遍历全部数据，时间复杂度为O(n)

● 对于实时系统，随着数据量增加，计算延迟会越来越大

● 不适合需要快速响应的实时控制系统

3）数值稳定性问题 

● 直接累加可能导致数值溢出

● 对于很大或很小的数据，浮点数精度损失明显

● 特别是在计算方差时，（Xi-u）的计算可能产生很大的舍入误差

4）实时性问题

● 无法进行增量计算

● 新数据到来时需要重新计算所有统计量

● 不适合流数据处理

在线算法(Online Algorithm)

在线方法也叫做流式方法, 针对批量方法的缺点,在线方法不需要保存历史数据，在线算法中比较经典的是 Welford算法。

Welford算法是由B.P. Welford在1962年提出的一种在线计算均值和方差的算法。它的核心思想是：每来一个新数据，就递增地更新均值和方差，而不需要存储所有历史数据。

2.1 Welford算法 

这是一种数值稳定的在线算法，特别适合处理数据流。Welford算法的核心是递推公式的推导。设第n个数据到来时：

1) 均值更新

2) 方差更新：

3) 关键推导步骤：

2.2 Welford算法实现2.2.1 核心结构和函数 

 2.2.2 使用示例 

 2.2.3 算法步骤解释

1) 每次新数据到来：

● 计数加1

● 计算新数据与当前均值的差

● 更新均值

● 更新M2（用于方差计算）

2) 方差计算：

● 直接用M2除以样本数

● 样本数小于2时返回0

算法对比小结

本文介绍了Welford方差计算方法，它是一种在线、一次遍历的方差计算算法，能在不存储所有样本的情况下，逐步计算所有样本的方差。与传统的方差计算方法相比，Welford方法在降低访存次数的同时，也做到了数值计算的稳定性。因此，Welford方法更适合处理海量数据，也更适合在高性能计算环境中使用。

事实上，Welford算法启发了 NVIDIA 在2018年提出的Online Softmax算法，该算法降低了Softmax计算的访存次数，提高了计算性能。而Online Softmax则直接启发了FlashAttention，后者已经成为支撑当前最流行的Transformer架构的最核心的计算优化手段。