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学习贝塞尔函数和调制指数如何帮助我们理解宽带调频信号的带宽。

由于它遵循叠加原理，幅度调制（AM）被归类为线性调制技术。而角度调制从根本上是非线性的。这种非线性使得调制波的发射机和接收机系统的分析和设计变得复杂。

这种非线性的一个影响是，调制波的有效带宽可能远大于原始消息信号的带宽。为了有效地传输和接收角度调制信号，了解调制波占用的带宽至关重要。

之前，我们探讨了调制指数较低时角度调制波的频率内容。本文研究了当消息信号为单频正弦波时，调制指数任意角度调制波的带宽。和之前一样，我们将重点关注频率调制（FM），因为它具有更好的抗噪声性能。

角度调制波与窄带 FM：回顾

为了更好地理解本文想要达成的目标，让我们先回顾一下前几篇文章中我们涵盖的内容。回想一下，一个恒定幅度的角度调制信号可以用以下方程表示：

$$=\cos +$$

公式 1。

其中 A c 是载波幅度，f c 是载波频率。

公式 2 显示了调频方案中φ(t)与消息信号的关系：

$$={}^{}m$$

公式 2.

其中 k f 是频率偏移常数。

尽管本文不会讨论相位调制（PM），但它也属于角度调制。为了完整性，公式 3 显示了相位调制中φ(t)与消息信号的关系：

$$=$$

公式3

其中 k p 是比例常数。

分析任意消息信号的角度调制带宽可能会很快变得非常复杂。因此，我们通常使用某些近似或特殊情况来理解角度调制波的关键特性。其中一种近似是窄带角度调制，它假设 |?(t)| 远小于一弧度。

我们的初步分析发现，窄带调频占用了消息信号带宽的两倍。为了进一步加深理解，我们考虑了单频消息信号的特殊情况下的窄带调频调制。这揭示窄带调频的下边带相对于上边带发生了相位反转，如图 1(b)的矢量图所示。

图 1. 使用单频消息信号时，传统调幅（a）和窄带调频（b）的相量图。

在这篇文章中，我们将继续研究由单频消息信号产生的调频波的带宽。然而，与上一篇文章不同，我们不再受限于|?(t)|?1 弧度的条件。我们将这种调频称为宽带调频，而不是窄带调频。

带单频输入的宽带调频

假设消息信号是一个单音正弦波：

$$=\cos$$

公式4。

其中 A m 和 f m 分别是消息信号的幅度和频率。应用公式 2，FM 波的 ?(t) 为：

$$=$$

公式 5。

?(t)的振幅，称为调制指数，通常用β表示：

$$==$$

公式 6。

其中Δf = k f A m 。将公式 5 代入公式 1，我们得到调频信号：

$$=\cos +\sin$$

公式 7。

参数β，我们之前介绍为调制指数，控制调频中的调制量。正如我们即将看到的，调频波的带宽取决于β。需要注意的是，这与传统的调幅方案不同，其带宽与其调制指数（μ）无关。

从公式 6 可以看出，β与调制信号的幅度（A m ）成正比，与调制信号的频率（f m ）成反比。因此，调频波的带宽取决于调制信号的幅度和频率。

确定调频波的占用带宽

由正弦调制信号产生的 FM 波通常是非周期的，除非载波频率（f?）是 f?的整数倍。然而，我们发现可以从这个方程中分离出一个周期性乘法项。使用傅里叶级数来展开这个周期性项简化了问题，并使我们能够识别整个 FM 信号频谱。

让我们深入探讨这个过程。方程 7 中的 FM 信号可以重写为：

$$=\sin$$

公式 8。

其中运算符 Re[.]表示方括号内量的实部。我们将方程 8 中的一个乘法项定义为 g(t):

$$=\sin$$

公式9。

该项是周期性的，其基波频率等于调制频率。我们可以将 g(t) 以复傅里叶级数的形式展开：

$$={}^{}{}^{}$$

公式10。

g(t) 的指数傅里叶级数系数可以如下获得：

公式 11。

这个积分，它是 n 和β的函数，称为第一类贝塞尔函数。它用 J n (β)表示：

$$=={}^{}{}^{}$$

公式12。

上述积分乍一看可能令人望而生畏，但好消息是我们很少需要直接计算它。在下一篇文章中，我们将深入探讨 J n(β)的关键特性。目前，只需将其视为一个依赖于 n 和β的缩放因子即可。

已知傅里叶级数系数 c n = J n (β)，我们可以使用公式 10 将 g(t)表示为：

$$={}^{}{}^{}$$

公式13

最后，将此公式代入公式 8，FM 信号可以重写为：

$$={}^{}{}^{}\cos +$$

公式14。

上述方程是当消息信号为单频正弦波时，关于 FM 信号的有用描述，其中调制指数β是任意的。

理解推导出的方程

方程 14 表明，载波波被 J 0 （β）因子缩放后出现在输出频谱中。最近的部分是位于 f c + f m 和 f c – f m 的边带，它们分别具有 J 1 （β）和 J -1 （β）的缩放因子。接下来最接近的部分是位于 f c + 2f m 和 f c – 2f m 的边带，它们分别具有 J 2 （β）和 J -2 （β）的缩放因子。这种模式会继续适用于任何 J n （β）和 J -n （β）。

图 2 显示了由正弦调制输入生成的典型 FM 信号频谱，其中 A c = 1。

图 2. 单音调消息信号 FM 信号的典型频谱。

在这里有一些观察结果。首先，在调频和调相中，会生成大量的上下边带对。这比相同消息信号的幅度调制需要更多的带宽。其次，请注意，频率分量之间由调制频率的频率间隔分开。

最后，边带的幅度并不相同，由 A c J n (β)给出。缩放因子 J n (β)是β的函数，而β本身取决于消息信号的幅度（A m ）和频率（f m ）（见方程 6）。因此，频率分量的幅度会随着 A m 和 f m 的变化而变化。

示例：查找 FM 信号频谱

现在我们将找到由正弦消息信号产生的 FM 波的频谱，其中 A c = 1，并且调制指数值β = 0, 0.2, 1, 2。为此，我们需要知道 J n (β)的值。

为了帮助确定贝塞尔函数的精确值，表 1 列出了在选定β值下的 J n (β)。J n (β)低于 0.01 的值被认为可以忽略不计，因此不包括在表中。

表 1. 对于 n = 0 到 n = 14 的重要 J n (β)值和一些选定的β值。

图 3 显示了 J n (β) 对于 n = 0 到 4 和β ≤ 20 的情况。

图 3. 第一类贝塞尔函数，n=0 到 4 和β≤20。 

当β=0 时，图 3 显示对于所有 n>0，我们有 J_0^0(0)=1 和 J_1^0(0)=0。在这种情况下，我们没有调制。只有未调制的载波，其相对幅度为 1，出现在输出端。这在图 4(a)中得到了说明。

图 4. β=0 (a) 和 β=0.2 (b) 时调频信号频谱的幅度。

图 4(b)显示了β=0.2 时输出频谱的幅度。在图 4(b)中，调频信号只包含一对显著的边带，类似于传统的调幅方案。这是一种窄带调频，我们在上一篇文章中讨论过。

最后，图 5(a)和图 5(b)分别显示了β=1 和β=2 时得到的输出频谱。

图 5. 调制指数β=1 (a) 和 β=2 (b) 时 FM 信号频谱的幅度。

将这些图进行比较，并与图 4 进行比较，我们看到增加调制指数会导致额外的显著旁瓣。图 4 和图 5 中的频率分量的幅度与表 1 中的相应值匹配。