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FFT作为数字信号处理中的重要的手段之一，主要在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数值分析等方面得到广泛应用。基于FPGA实现FFT，具有软件编程的灵活性及电路扩展性强等优点。随着集成电路技术进步和制造工艺水平的提高，FPGA芯片具有的功能越来越强，成为快速实时实现FFT的重要手段。采用基2法完成基于FPGA浮点运算器的FFT。

1 基于FPGA浮点运算器的FFT

1．1 浮点的IEEE标准格式

设计采用单精度浮点运算，IEEE定义的二进制浮点格式为32位。结构表示如图1所示。

将32位分为3部分：31位为符号位S，S为0时表示正数，为1时表示负数；30～23为指数E，是一个0～255之间的八位二进制数，其实际的指数是E-127，所表示的指数范围是2-127～2128；22～0表示尾数F，小数点前还隐藏了一位‘1’，单精度尾数可表示最大数为2(23+1)=16 777 216。因为10716 777 216108，所以单精度浮点数的有效位数是7位，即浮点数的精度为10-6。为方便FFT的运算，文中采用原码存储。

1．2 基2的DIT-FFT算法

在蝶形运算中采用复数形式表示数据。对于一个2点的蝶形运算，输入复数为A=x+jX，B=y+jY；经运算，输出复数A’=(x+ycosφ+ Ysinφ)+j(X+Ycosφ-ysinφ)，B’=[x-(ycosφ+Ysinφ)]+j[X-(Ycosφ-ysinφ)]。

设计主要针对8点FFT进行设计，8点FFT算法的原理图如图2所示。

整个FFT过程中共有三级蝶形运算，每级蝶形运算有4个蝶形运算单元。在数据输入时按照自然顺序输入，最后倒序输出。

1．3 FFT处理器

FFT处理器主要对数据进行蝶形运算及数据存取。设计采用基2蝶形运算器，包括存储器ROM和RAM，控制器及地址产生单元等。其FFT的结构模型如图3所示。



1．3．1 蝶形处理单元

蝶形处理单元是整个FFT的中心环节，采用复数表示，将实部与虚部分别存储，利用基2的DIT-FFT算法实现运算。

蝶形运算过程包括一个乘法运算和一个加／减法运算。数据的读取由时钟单元的信号来控制：当时钟为c0时，读取y；c1时，读取Y；c2时，读取x；c3时，读取X。经蝶形运算后得到x’=x+(ycosφ+Ysinφ)，X’=X+(Ycosφ-ysinφ)，y’=x-(ycosφ+Ysinφ)，Y’=X-(Ycosφ-ysinφ)然后将数据写入同样地址的RAM中，至此，2点的蝶形运算单元完成。在蝶形运算共需一个乘法器和两个加法器。

(1)浮点乘法器。乘法过程对浮点数的符号位、指数以及尾数分别进行计算，符号异或，指数相加再减127，尾数加入隐含的‘1’后再进行乘法运算，如果尾数相乘的结果有溢出则指数加1尾数取前23位，若无溢出，则取最高位后的23位。但若输入的数据有一个是0，则输出为0。

图5的波形为两浮点数的乘法运算，输入以16进制表示，分别将不同类型的数据搭配进行测试，结果表示仿真正确。


(2)浮点加法器。加法运算是将两数指数比较，存储较大的指数，将指数小的尾数移位，再进行加减操作，规格化后输出。加法过程由多个模块组合实现，包括比较模块，右移模块、加／减法模块、前导零检测模块、左移模块和结果整合输出模块。

比较模块主要对指数操作，判断指数的大小，较大的指数暂作结果的指数，较小指数的数做移位操作，其阶差为移位量。以下程序采用for循环来实现移位，S(5 downto 0)存储阶差，最大值是32。

然后尾数经加减运算后规格化并输出，为了以标准浮点格式输出，规格化需要前导零检测。

然后进行移位操作，最后将规格化后的数据整合输出，就完成两个浮点数的加法运算。

图6的波形为两个输入浮点数的加法运算数据，以16进制表示。上述数据分别将不同类型的数据搭配运算，数据表明该仿真结果正确。

1．3．2 地址产生单元

地址产生单元主要是跟踪FFT运算进度，进而更好地调配存储单元，及控制各相关模块的运行。

(1)通过计数器来跟踪记录FFT计算的状况。为方便对存储单元操作，采用计数器来记录FFT的计算情况。8点的FFT，每个单元包括4个数据，所以用一个4位计数器Butterfly表示全部的运算状态。一个2位级计数器Stage表示三级蝶形单元。当Butterfly计数为4时，级计数器Stage加1，当Stage计数为3时，表示FFT的计算操作完成。当Butterfly计数为15时，输入输出信号置‘1’，反馈回控制器输入输出操作完成。

(2)ROM读取的地址。旋转因子存储在ROM中，由实部cos(2×k×π／8)和虚部sin(2×k×π／8)两部分组成，读取由时钟单元的信号控制。由图2可以看出每一级参加蝶形运算的旋转因子不同。

(3)RAM数据地址。在整个地址单元中，分配RAM中数据的地址是重点，8点蝶形运算共需16个存储单元，数据地址的产生遵循一定规则。例如，Butterfly的信号为“a3a2a1a0”，则x，y的地址产生规则如表1所示。

数据的读取靠时钟信号来控制。

1．4 FFT仿真结果分析

图7中输入8点数据为[-l，1，2，-0．5，-3，-1，2，0]。仿真结果经转换后，用10进制表示的最后结果为[0，3．76775-1．06065i，-8-0．5i，0．23225-1．06065i，0．5，0．23225+1．06065i，-8+0．5i．3．76775+1．06065i]。Matlab仿真后结果为[-0．5000，3．7678-1．0607i，-0．8000-0．5000i，0．2322-1．0607i，0．5000，0．2322+1．0607i，-0．8000+0．5000i，3．7678+1．0607i]两结果很接近，误差较小，仿真结果正确。


2 结束语

文中在分析了FFT算法后，描述了运算的蝶形单元，地址生成单元及FFT的实现过程。从实际设计出发，完成了基于FPGA的单精度浮点运算器的FFT设计，精度达到10-6。其输出结果与Matlab仿真结果相近，达到了利用FPGA实现FFT的目的。